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2018届高三数学(文)二轮复习专题集训:专题3 三角函数与平面向量3.2

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

下载次数:91次

资料类型:

文档大小:109KB

所属点数: 2

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A级
1.(2016·全国卷甲)若cos=,则sin 2α=(  )
A. 	B.
C.- 	D.-
解析: 因为cos=,
所以sin 2α=cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.
答案: D
2.已知ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=,b=2acos B,c=1,则ABC的面积等于(  )
A. 	B.
C. 	D.
解析: 由正弦定理得sin B=2sin Acos B,
故tan B=2sin A=2sin =,又B(0,π),所以B=,
又A==B,则ABC是正三角形,
所以SABC=bcsin A=×1×1×=.
答案: B
3.已知sin=cos,则cos 2α=(  )
A.1 	B.-1
C. 	D.0
解析: 因为sin=cos,所以cos α-sin α=cos α-sin α,即sin α=-cos α,所以tan α==-1,所以cos 2α=cos2α-sin2α===0.
答案: D
4.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为(  )
A.锐角三角形 	B.直角三角形
C.钝角三角形 	D.不确定
解析: 因为bcos C+ccos B
=b·+c·
=
==a=asin A,所以sin A=1.
因为A(0,π),所以A=,即ABC是直角三角形.
答案: B
5.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若SABC=2,a+b=6,=2cos C,则c=(  )
A.2 	B.2
C.4 	D.3
解析: 因为===1,所以2cos C=1,所以C=.又SABC=2,则absin C=2,所以ab=8.因为a+b=6,所以c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=62-3×8=12,所以c=2.
答案: B
6.(2017·全国卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=________.
解析: 法一:由2bcos B=acos C+ccos A及正弦定理,
得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A.
2sin Bcos B=sin(A+C).
又A+B+C=π,A+C=π-B.
2sin Bcos B=sin(π-B)=sin	B.
又sin B≠0,cos B=.B=.
法二:在ABC中,acos C+ccos A=b,
条件等式变为2bcos B=b,cos B=.
又0<B<π,B=.
答案: 

7.如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上,仰角为60°;在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上,仰角为30°.若A,B两点相距130 m,则塔的高度CD=________m.
解析: 分析题意可知,设CD=h,则AD=,BD=h,在ADB中,ADB=180°-20°-40°=120°,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos 120°,可得1302=3h2+-2·h··,解得h=10,故塔的高度为10m.
答案: 10
8.在ABC中,三内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,若(a-c)··+c··=0,则cos B的值为________.
解析: 已知可化为(a-c)·cacos B+c·abcos(π-C)=0,即(a-c)cos B-bcos C=0,acos B=ccos B+bcos C,由正弦定理得,sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C,即sin Acos B=sin(B+C)=sin A,sin A≠0,cos B=.
答案: 
9.已知α,β(0,π),且tan α=2,cos β=-.
(1)求cos 2α的值;
(2)求2α-β的值.
解析: (1)因为tan α=2,所以=2,即sin α=2cos α.
又sin2α+cos2α=1,解得sin2α=,cos2α=.
所以cos 2α=cos2α-sin2α=-.
(2)因为α(0,π),且tan α=2,所以α.
又cos 2α=-<0,故2α,sin 2α=.
由cos β=-,β(0,π),得sin β=,β.
所以sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=-.
又2α-β,所以2α-β=-.
10.(2017·全国卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.
解析: (1)由题设得acsin B=,
即csin B=.
由正弦定理得sin Csin B=.
故sin Bsin C=.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,
即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.
由题设得bcsin A=,a=3,所以bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,
即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=.
故ABC的周长为3+.
B级
1.已知ABC中,三内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,若a=2,sin C=2sin B且sin Acos B+sin Asin B=sin C+sin B,则c的值为(  )
A. 	B.
C. 	D.
解析: sin Acos B+sin Asin B=sin C+sin B可化为sin Acos B+sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B+sin B,即sin=,A=,又sin Acos B+cos Asin B=2sin B,则tan B=,B=,则C=,c==,故选D.
答案: D
2.(2017·咸阳模拟)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=2c2,sin A(1-cos C)=sin Bsin C,b=6,AB边上的点M满足=2,过点M的直线与射线CA,CB分别交于P,Q两点,则MP2+MQ2的最小值是(  )
A.36 	B.37
C.38 	D.39

解析: 由正弦定理,知+=2c2,即2=2sin2C,sin C=1,C=,
sin A(1-cos C)=sin Bsin C,即sin A=sin B,A=B=.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则M(2,4),设MPC=θ,θ,则MP2+MQ2=+=(sin2θ+cos2θ)=20+4tan2θ+≥36,当且仅当tan θ=时等号成立,即MP2+MQ2的最小值为36.
答案: A
3.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为锐角,向量m=(2sin A,-),n=,且mn.
(1)求A的大小;
(2)如果a=2,求ABC面积的最大值.
解析: (1)由mn,可得2sin A·+cos 2A=0,即2sin A·cos A+cos 2A=0,
所以sin 2A=-cos 2A,即tan 2A=-.
因为A为锐角,故0°<2A<180°,所以2A=120°,A=60°.
(2)如果a=2,在ABC中,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4,
所以S=bcsin A≤×4×=,
故ABC面积的最大值为.
4.如图,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声检测点,B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、B同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.

(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B、C到P的距离,并求出x的值;
(2)求P到海防警戒线AC的距离.
解析: (1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.
在PAB中,AB=20,cos PAB===,
同理,在PAC中,AC=50,cos PAC===.
cos ∠PAB=cos PAC,=,
解得x=31.
(2)作PDAC于点D,在ADP中,
由cos PAD=,
得sinPAD==,
PD=PAsinPAD=31×=4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米.













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