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2018届高三数学(文)二轮复习专题集训:专题8 选修系列8.1

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

下载次数:85次

资料类型:

文档大小:79KB

所属点数: 2

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A级
1.(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sin θ-ρcos2θ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.
解析: (1)sin θ-ρcos2θ=0,
ρsin θ-ρ2cos2θ=0,
即y-x2=0.
(2)将代入y-x2=0得,
+t-2=0,
即t=0,
从而,交点坐标为(1,),
交点的一个极坐标为.
2.(2017·成都市第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sin θ=0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)已知点P(1,0),若点M的极坐标为,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值.
解析: (1)直线l的参数方程为(t为参数),
直线l的普通方程为y=tan α·(x-1).
由ρcos2θ-4sin θ=0得ρ2cos2θ-4ρsin θ=0,即x2-4y=0.
曲线C的直角坐标方程为x2=4y.
(2)点M的极坐标为,点M的直角坐标为(0,1),
tan α=-1,直线l的倾斜角α=.
直线l的参数方程为(t为参数).
代入x2=4y,得t2-6t+2=0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.
Q为线段AB的中点,
点Q对应的参数值为==3.
又点P(1,0),则|PQ|==3.
3.已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,其中点A的极坐标为.
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解析: (1)由题可知点A,B,C,D的极坐标分别为,,,.
所以点A,B,C,D的直角坐标分别为(1,),(-,1),(-1,-),(,-1).
(2)设P(x0,y0)则(φ为参数),
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x+4y+16=32+20sin2φ[32,52].
4.(2017·全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.
解析: (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是OAB的面积S=|OA|·ρB·sinAOB
=4cos α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以OAB面积的最大值为2+.
5.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.
(1)写出Γ的参数方程;
(2)设直线l:3x+2y-6=0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析: (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(x,y),
依题意,得,即.
由x+y=1得2+2=1.即曲线Γ的方程为+=1.
故Γ的参数方程为(t为参数).
(2)由,解得,或.
不妨设P1(2,0),P2(0,3),则线段P1P2的中点坐标为,
所求直线的斜率k=.
于是所求直线方程为y-=(x-1),
即4x-6y+5=0.
化为极坐标方程,得4ρcos θ-6ρsin θ+5=0.
6.(2017·福州市综合质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,其左焦点F在直线l上.
(1)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的值;
(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值.
解析: (1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12化为直角坐标方程,得+=1,则其左焦点F(-2,0),则m=-2.
将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程+=1联立,
化简可得t2-2t-2=0,
由直线l的参数方程的几何意义,
令|FA|=|t1|,|FB|=|t2|,
则|FA|·|FB|=|t1t2|=2.
(2)由曲线C的方程+=1,可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cos θ,2sin θ),
则以P为顶点的内接矩形的周长为
4×(2cos θ+2sin θ)=16sin ,
因此当θ=时,可得该内接矩形周长的最大值为16.
B级
1.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
解析: (1)由消去参数α,得+y2=1,
即C的普通方程为+y2=1.
由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)
将代入(*),化简得y=x+2,
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),
代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,
Δ=(18)2-4×5×27=108>0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.
2.(2017·新疆第二次适应性检测)已知AB和CD是曲线C:(t为参数)的两条相交于点P(2,2)的弦,若ABCD,且|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.
(1)将曲线C化为普通方程,并说明它是什么曲线;
(2)试求直线AB的方程.
解析: (1)由y=4t得y2=16t2,而x=4t2,y2=4x,它表示一条抛物线.
(2)设直线AB和CD的倾斜角分别为α,β,则直线AB和CD的参数方程分别为
和.
把代入y2=4x中,得m2sin2α+4(sin α-cos α)m-4=0 ,
依题意知sin α≠0,且方程的判别式Δ=16(sin α-cos α)2+16sin2α>0,
方程有两个不相等的实数解m1,m2,且m1m2=,
由m的几何意义知|PA|=|m1|,|PB|=|m2|,
|PA|·|PB|=|m1m2|=,
同理|PC|·|PD|=,
由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知=,
即sin2α=sin2β.
0≤α≤π,0≤β≤π,且α≠β,α=π-β,
AB⊥CD,β=α+或α=β+,
直线AB的倾斜角α=或,
kAB=1或kAB=-1.
故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0.













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