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2014年自主招生数学仿真模拟笔试1

资料类别: 全科/试题

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2014/4/22

下载次数:66次

资料类型:自主招生

文档大小:672KB

所属点数: 0

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2014年自主招生数学仿真模拟笔试1



即方程组:,有非0有理数解.
由(1)+(3)得:   (6)
由(6)+(2)得:     (7)
由(6)+(4)得:    (8)
由(7)(5)得:,代入(7)、(8)得:,代入(1)、(2)知:.于是知,与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式,其两根分别为和.
综上所述知,以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

2.在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法?
  A. 720       B. 20      C. 518400      D. 14400
解析:先从6行中选取3行停放红色车,有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择;最上面一行的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有5种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后,黑色车的位置有3!=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.
3.已知,求的值.
    A. 10      B. 12      C. 14      D. 16
解析:根据条件知:

由两式相减得故或
①若则,解得.于是知或.
当时,

.
当时

.
(2)若,则根据条件知:,于是,
进而知.
于是知:.
综上所述知,的值为或.

4.数列满足,前项和为,求.
A. 3019(2 2012        B. 3019(22013    C. 3018(22012    D.无法确定
.又根据条件知:.
所以数列.
又.令,
则,所以.即.
对,两边同除以,有,即.令,则,,于是知.所以.于是知: .
5.如图,中,为边上中线,分别的角平分线,试比较与的大小关系,并说明理由.
A. BM+CN>MN
B. MN(CN(MN
C. BM+CN(MN
D.无法确定
到,使得,连接.易知,所以.又因为分别为的角平分线,所以,知为线段的垂直平分线,所以.所以.


6.模长为1的复数,满足,求的模长.
   A. (1/2     B. 1       C. 2          D.无法确定
知,.于是知:


.
所以的模长为1.

7.最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数.
    解析:所有正整数按取模3可分为三类:型、型、型.
首先,我们可以证明,所取的数最多只能取到两类.否则,若三类数都有取到,设所取型数为,型数为,型数为,
则,不可能为素数.所以三类数中,最多能取到两类.
其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类型的数至少取到三个,设其中三个分别为,
则,不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.
结合上述两条,我们知道最多只能取个数,才有可能满足题设条件.
另一方面,设所取的四个数为1、7、5、11,即满足题设条件.
综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.
 

8.已知,满足,且,求证:.
  解析:根据条件知:
,(1)
另一方面,令,则中每个数或为,或为.设其中有个,个,则:
(2)
由(1)、(2)知:
                                                      (3)
而为奇数,不可能为0,所以.于是知:
.
从而知:,即得.同理可知:.命题得证.


9.对任意的,求的值.
解析:根据二倍角和三倍角公式知:



.

10.已知有个实数,排列成阶数阵,记作,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对任意的,当时,都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵,记作,即对任意的,当时,都有.试判断中每一行的个数的大小关系,并说明理由.
解析:数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,理由如下:
显然,我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于任意,都有,其中.
若存在一组.令,其中,.则当时,都有.也即在中,至少有个数小于,也即在数阵的第列中,至少排在第行,与排在第行矛盾.
所以对于任意,都有,即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的.
















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