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2014年自主招生数学仿真模拟笔试2

资料类别: 全科/试题

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2014/4/22

下载次数:54次

资料类型:自主招生

文档大小:461KB

所属点数: 0

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2014年自主招生数学仿真模拟笔试2
                                        
题号	一	二	三	总分		得分									
一、选择题(共7题,每题5分,共35分)
1.二次函数的图像如右图所示,则化简二次根式  
的结果是(     )
A.a+b      B.-a-b           C.a-b+2c         D.-a+b-2c
2.有4支队伍进行4项比赛,每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。
每队的4项比赛得分之和算作总分,如果已知各队的总分不相同,并且其中一队获得了三项比赛的第一名,问总分最少的队伍最多得多少分?(   )
A.7               B.8               C.9               D.10
3.已知a是方程的一个实数根,则直线不经过(   )
A.第一象限            B.第二象限           C.第三象限        D.第四象限
4.有一种长方体集装箱,其内空长为5米,高4.5米,宽3.4米,用这样的集装箱运长为
5米,横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管,最多能运(     )根。
A.20根              B.21根                C.24根            D.25根
5.将5个相同的球放入位于一排的8个格子中,每格至多放一个球,则3个空格相连的概
率是(   )
A.               B.            C.          D. 
6.用[x]表示不大于x的最大整数,则方程的解的个数是(    )
A.1               B.2                C.3               D.4 
对每个x,y是,三个值中的最小值,则当x变化时,函数y的最大值是(     )
A.  4             B.  6          C. 8         D. 
二、填空题(共7题,每题5分,共35分)
8. 已知,且a≠0,则=        。
9.G是△ABC的重心,过G的直线交AB于M,交AC于N,
则=      。
10. 已知a、b、c都是实数,且满足a>b>c,a+b+c=0.那么,的取值范围是          。
11.在△ABC中,AB=AC,且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,
则各内角的度数为             。
12.对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程的两个根记
作(n≥2),则…=     。  
13. 设抛物线的图象与x轴只有一个交点,
则=         。
14.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是. ( ≠1),使得方程  
的两根都是正整数。











16.(12分)如图1, 矩形铁片ABCD的长为, 宽为; 为了要让铁片能穿过直径为的圆孔, 需对铁片进行处理 (规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔); 
  (1)如图2, M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点, 若将矩形铁片的四个角去掉, 
只余下四边形MNPQ, 则此时铁片的形状是_______________, 给出证明, 并通过计
算说明此时铁片都能穿过圆孔;
  (2)如图3, 过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F(不与端点重合), 
沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片;
①当BE=DF=时, 判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔, 并说明理由;
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔, 请直接写出线段BE的长度的取值范围        












17.(14分)喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣,他想:75度虽然不是特殊角,
但和特殊角有着密切的关系,能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢?经研
究,他发现:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆
猜想:(为锐角)。将图1(a)等积变形为
图1(b)可用于勾股定理的证明,现将这两幅图分别“压扁”的直角三角形斜边为m,锐角为的直角三角形斜边为n,请你借助
图2(a)和图2(b)证明上述结论能成立。






18.(14分)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.①猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;②拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.								
二、填空题(每小题6分,共35分)
8.                      9.                         10.                   
11.                     12.                         13.                   
14.                     
三、解答题(第15题10分,第16题12分,第17、18每题14分,共50分)
15.

















16.




















17.









                                                    










18.







































   参考答案
选择题
1.  C   2.   B  3. D   4.B   5.  A  6.  C  7.  B
填空题
8.   2  ;9.  1; 10. ;11. (45°、45°、90°)(36°、36°、108°)
(36°、72°、72°)(、、);12.; 13. 5796   14.
解答题
K=2,3,
解:(1)是菱形,如图,过点M作MG⊥NP于点G,∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点,∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ,∴MN=NP=PQ=QM,∴四边形MNPQ是菱形,∴能穿过圆孔
(2)①如图,过点A作AH⊥EF于点H,过点E作EK⊥AD于点K显然AB=a>故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔,过点A作EF的平行线RS,故只需计算直线RS与EF之间的距离即可,
∵∠AHF=∠EKF=90°,∠AFH=∠EFK,∴△AHF∽△EKF,∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔;②
17.








如图2(a),原来的正方形变成了一个平行四边形,α+β它的面积是mnsin(α+β)其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度.如图2(b),原来的两个正方形变成了两个矩形,其面积之和是msinα·ncosβ+mcosα·nsinβ.与上面一样,图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等,所以mnsin(α+β)=msinα·ncosβ+mcosα·nsinβ,化简得sin(α+β)=sinαcosβ+sinαcosβ(1)证明:如图1,连接OE、0F,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ADC,AD=DC=BC,∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴点O即为△AEF的外心;
①猜想:外心P一定落在直线DB上.理由如下:如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,∴∠PIE=∠PJD=90°,∵∠ADC=60°,∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,∵点P是等边△AEF的外心,∴∠EPA=120°,PE=PA,∴∠IPJ=∠EPA,∴∠IPE=∠JPA,∴△PIE≌△PJA,∴PI=PJ,∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上;
②


















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图3

图1

图2

图3

图1

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