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2014年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 天津

上传时间:2014/6/10

下载次数:2039次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.82M

所属点数: 0

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
	本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
	祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
如果事件,互斥,那么			如果事件,相互独立,那么
					
•圆柱的体积公式            •圆锥的体积公式
其中表示柱的底面面积,          其中
表示柱的高              表示圆锥的高.
	一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
(1)(  )
    (A)    (B)  (C)  (D)(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为(  )
    (A)    (B)   (C)       (D)(3)的值为(  )
(A)(B)
(C)(D)(4)的单调递增区间是(  )
(A)     (B)(C)     (D)
()的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  )
(A)  (B)(C)  (D)()是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:①平分;②;③;④(  )
(A)②    (B)③④    (C)②③    (D)②④
(7),则|“”是“”的(  )
(A)(B)(C)      (D)
(8)的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则(    )
(A)    (B)    (C)    (D)第Ⅱ卷
注意事项:
	1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
	2.本卷共12小题,共110分。
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)
(9)4:5:5:6_______名学生.
(10)已知一个_______.
(11)是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为__________.
(12)在所对的边分别是.已知,,则的值为_______.
(13)为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为___________.
(14),.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.
三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分13分)
已知函数,
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值













(16)(本小题满分13分)
7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望














(17)(本小题满分13分)
如图,在四中,底面,,,,点为棱的中点.
(Ⅰ)证明 ;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)为棱上一点,满足,
求二面角的余弦值.









(18)(本小题满分13分)
设椭圆()的左焦点为,,上顶点为.已知.
(Ⅰ)求椭圆的;
(Ⅱ)设为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.













(19)(本小题满分14分)
已知和均为给定的大于1的自然数设集合,集合
(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;
()设,,,其中(20)(本小题满分14分)
已知函数.已知函数有两个零点,且.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明随着的减小而增大;
(Ⅲ)随着的减小而增大.




















参考答案及解析
一、选择题
题号	1	2	3	4	5	6	7	8		答案		B	B	D	A	D	C	C		(1)(  )
    (A)    (B)  (C)  (D).
(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为(  )
    (A)    (B)   (C)       (D)时,取得最小值3.
(3)的值为(  )
(A)(B)
(C)(D)时,,;时,,;
时,,,输出.
(4)的单调递增区间是(  )
(A)     (B)(C)     (D)
,解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.
()的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  )
(A)  (B)(C)  (D)解:A    依题意得,所以,,双曲线的方程为.
()是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:①平分;②;③;④(  )
(A)②    (B)③④    (C)②③    (D)②④
解:D    由弦切角定理得,又,所以∽,所以,即,排除A、C.
又,排除B.
(7),则|“”是“”的(  )
(A)(B)(C)      (D)
解:C    设,则,所以是上的增函数,“”是“”的充要条件.
(8)的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则(    )
(A)    (B)    (C)    (D),所以.
因为,所以,.
因为,所以,即  ①
同理可得  ②,①+②得.
第Ⅱ卷
注意事项:
	1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
	2.本卷共12小题,共110分。
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)
(9)4:5:5:6_______名学生.
解:60    应从一年级抽取名.
(10)已知一个_______.
解:    该几何体的体积为.
(11)是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为__________.
解:    依题意得,所以,解得.
(12)在所对的边分别是.已知,,则的值为_______.
解:    因为,所以,解得,.
所以.
(13)为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为___________.
解:3    圆的方程为,直线为.
因为是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得.
(14),.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.
解:或
显然.

(ⅰ)当与相切时,,此时恰有3个互异的实数根.
(ⅱ)当直线与函数相切时,,此时恰有2个互异的实数根.
结合图象可知或.
解2:显然,所以.
令,则.
因为,
所以.
结合图象可得或.


三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分13分)
已知函数,
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值
(15)本小题满分13分(Ⅰ)
                         
                         
                         
                         .
所以,的最小正周期.
(Ⅱ)在区间上是减函数,在区间上是增函数.
,,.
所以,函数在闭区间上的最大值为,最小值为.

(16)(本小题满分13分)
7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望
(1)本小题满分13分(),则
.
所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
所以,的最小正周期.
()的所有可能值为0,1,2,3.
.

所以,随机变量的分布列是
	0	1	2	3								随机变量的数学期望.

(17)(本小题满分13分)
如图,在四中,底面,,,,点为棱的中点.
(Ⅰ)证明 ;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)为棱上一点,满足,
求二面角的余弦值.

(1)本小题满分13分为原点建立空间直角坐标系(如图),可得,,,.由为棱的中点,得.
(),,故. 所以,.
(),.
设为平面的法向量,则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有
.
    所以,直线与平面所成角的正弦值为.
(),,,.
由点在棱上,设,.
故.
由,得,
因此,,解得.即.
设为平面的法向量,则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.
取平面的法向量,则
.
易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.
(方法二)
()中点,连接,.
由于分别为的中点, 故,且,又由已知,可得且,故四边形为平行四边形,所以.
    因为底面,故,而,从而平面,因为平面,于是,又,所以.
(),由()平面,得,而,故.
又因为,为的中点,故,可得,所以平面,故平面平面.
所以直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角.
依题意,有,而为中点,可得,进而.
故在直角三角形中,,因此.
    所以,直线与平面所成角的正弦值为.
()中,过点作交于点.
因为底面,故底面,从而.又,得平面,因此.
在底面内,可得,从而.在平面内,作交于点,于是.
由于,故,所以四点共面.
由,,得平面,故.
所以为二面角的平面角.
在中,,,,
由余弦定理可得,.
所以,二面角的斜率值为.
(18)(本小题满分13分)
设椭圆()的左焦点为,,上顶点为.已知.
(Ⅰ)求椭圆的;
(Ⅱ)设为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.
(18)13分.
(Ⅰ)的坐标为.由,可得,又,则.
所以,椭圆的离心率.
,所以,解得,.
(Ⅱ)(Ⅰ),.故椭圆方程为.
设.由,,有,.
由已知,有,即.又,故有
.        ①
又因为点在椭圆上,故
.         ②
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为.
设圆的圆心为,则,,进而圆的半径.
设直线的斜率为,依题意,直线的方程为.
由与圆相切,可得,即,
整理得,解得.
所以,直线的斜率为或.

(19)(本小题满分14分)
已知和均为给定的大于1的自然数设集合,集合
(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;
(Ⅱ)设,,,其中,证明:若,则
(19)项和公式,不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
(Ⅰ)解:当,时,,
可得,.
(Ⅱ)证明:,,,,及,可得

     
     
     .
    所以,.

(20)(本小题满分14分)
已知函数.已知函数有两个零点,且.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明随着的减小而增大;
(Ⅲ)随着的减小而增大.
(20)14分.
()解:,可得.
下面分两种情况讨论:
(1)时
    在上恒成立,可得在上单调递增,不合题意.
(2)时,
    由,得.
当变化时,,的变化情况如下表:
						+	0	-			↗		↘		这时,的单调递增区间是;单调递减区间是.
于是,“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立:
1°;2°存在,满足;
3°存在,满足.
由,即,解得,而此时,取,满足,且;取,满足,且.
所以,的取值范围是.
(Ⅱ)证明:,有.
设,由,知在上单调递增,在上单调递减. 并且,当时,;当时,.
由已知,满足,. 由,及的单调性,可得,.
    对于任意的,设,,其中;,其中.
因为在上单调递增,故由,即,可得;类似可得.
又由,得.
所以,随着的减小而增大.
()证明:,,可得,.
故.
设,则,且解得,.所以,
.    ①
令,,则.
令,得.
当时,.因此,在上单调递增,故对于任意的,,由此可得,故在上单调递增.
因此,由①可得随着的增大而增大.
而由(Ⅱ),随着的减小而增大,所以随着的减小而增大. 




















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