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2014年高考真题——文科数学(重庆卷)解析版 Word版含答案

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 重庆

上传时间:2014/6/12

下载次数:1278次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.04M

所属点数: 0

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2014年普通高等学校招生考试(重庆卷)
数学文科试题答案及解析

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()
A.第一象限        B.第二象限         C.第三象限        D.第四象限
【答案】B【解析】实部为横坐标,虚部为纵坐标。
2.在等差数列中,,则
A.5               B.8                C.10               D.14
【答案】B【解析】将条件全部化成:,解得,于是.
3.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本。已知从高中生中抽取70人,则为()
A.100              B.150             C.200              D.250
【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例,与样本中所占的比例相等,也就是有:
。考察分层抽样的简单计算.
4.下列函数为偶函数的是()
A.        B.   C.   D.
【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则:。即可得到答案为D。考察最简单的奇偶性判断.
5.执行如题(5)图所示的程序框图,若输出的值为,则判断框内可填入的条件是(A)              (B)
(C)             (D)
【答案】:C
【解析】:按照循环步骤:
,
此时需要不满足条件输出则输出条件应为
6.已知命题对任意;
:“”是”的充分必要条件,
下列倒是为真命题的是
                       (B)
(C)                      (D)
【答案】:D【解析】:根据复合命题的判断关系可知,命题为真,命题为假,所以只有为真
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

54         (B)60       (C)66         (D)72
【答案】:B【解析】:由三视图可知,该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体,其中直三棱柱底面为一个边长为3,4,5的直角三角形,高为2,上方的四棱锥是底面边长是3的正方形,一个侧面与直三棱柱的底面重合。此图形共有5个面,底面,竖直的三个面面积分别为,剩下的一个面是一个直角边长为3,5的直角三角形,。所以表面积为
设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为(    )
            B.           C.4               D.
【答案】D【解析】由题意,同除以得。
【点评】本题考查双曲线的定义、离心率问题,首先由题意建立关于的齐次方程,解出再代入离心率
9.若,则的最小值为()
A.         B.         C.        D.
【答案】D【解析】,条件足以说明。经过化简得:,即,于是
10. 已知函数内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是(    )
     B.    C.       D.
【答案】A【解析】函数的图像为下图所示的黑色图像部分.

在内的零点可看成函数与直线的交点,又知道该直线过定点.要有两个交点,直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间。计算出这些直线的斜率,可以得到满足条件的直线的斜率的范围是
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上。
11.11.已知集合__________
【答案】{3,5,13}
12.12.已知向量_______________.
【答案】10【解析】根据向量的数量积公式与向量模长公式得 ,向量积:。
13.将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移的单位长度得到的图像,则____________.
【答案】【解析】根据函数的伸缩变换规则:函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成函数的图像,再根据平移变换规则:向右平移个单位长度得到函数的函数图像,因此,得到,,因为,所以,因此得到的解析式为,所以
【点评】此题考查三角函数的平移变换和伸缩变换,难度中等,关键是要记住三角函数图像变换规则,三角函数横坐标缩短为原来的一半是在x前面乘以2,而不是除以2,这点学生容易记错。
14.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且,则实数的值为_________.
【答案】a=0或a=6【解析】将圆的方程转换成标准方程得, 圆C的圆心为(-1,2),半径为3,如图所示,因为直线与圆C的交点A,B满足,所以为等腰直角三角形,则弦AB的长度为,且C到AB的距离为,而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为,所以得, ,所以a=0或a=6,



15.某校早上8:00上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为______________.(用数字答)
【答案】【解析】这是一个几何概型的题目,由题意可知有两个变量,因此是与面积有关的几何概型,如图建立平面直角坐标系,分别设小张到达学校的时间是x,小王到达学校的时间为y,则x,y满足, 那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示,而小张比小王至少早到5分钟可以用不等式表示,即图中的阴影部分,则小张比小王至少早5分钟到校的概率。



三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分13分. (1)小问5分,(2)小问8分)
已知是以首项为1,公差为2的等差数列,是的前项和.
求和   (2)设是以2为首项的等比数列,公比满足,
求的通项公式及其前项和。
【答案】(1);()
【解析】(1)此题是对等差数列通项和前项和公式的直接考察,直接带入即可。
(2)由(1)知,,故,
【点评】整道题都是属于简单基础题,纯粹是公式的套用.学生感到犯难的,是没有解方程的意识,以及看到那一大串式子所带来的恐惧感.

(本小题满分13分.(I)小问4分,(II)小问4分,(III)小问5分)
20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如下:



(I)求频数直方图中的值;
(II)分别球出成绩落在与中的学生人数;
(III)从成绩在的学生中人选2人,求次2人的成绩都在中的概率.
【答案】(Ⅰ)()2,3
【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知组距为10,频率总和为1可列如下等式





18.(本小题满分13分. ()小问5分,()小问8分)
在中,内角所对的边分别为,且
  (1)若,求的值;
  (2)若,且的面积,求和的值.









19.本小题满分12分(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分。
已知函数,其中,且曲线在点处的切线垂直于。     (1)求的值;     (2)求函数的单调区间和极值。




20.本小题满分12分(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分。
如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,
,,为上一点,且
(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若,求四棱锥的体积
【答案】(Ⅰ)略,在解析中呈现(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)因为底面,底面,故。
因为是以为中心的菱形,,所以。
又因为,所以,
(Ⅱ)由(1)可知,,,在中,利用余弦定理可以求得.
设,可得,
又因为,解得,即.
所以四棱锥的体积为



21.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
如题(21)图,设椭圆的左右焦点分别为,点D在椭圆上,,,的面积为
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在y轴上的圆,使得圆在x轴的上方与椭圆由两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由。

【解析】:(Ⅰ)设,其中由得==c从而===,故c=1从而|=,由得,因此=所以,故a=,,因此所求椭圆的标准方程为
(Ⅱ)如题(21)图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交,,是两个交点,,,是圆C的切线,且,由圆和椭圆的对称性,易知,,
由(Ⅰ)知,所以,,再由得,由椭圆方程得,即.解得=或=
当=时重合,题设要求的圆不存在
当=时,过分别与垂直的直线交点即为圆心C,设C(0,)由,得,而,故
圆C的半径| |=
综上,存在满足题设条件的圆,其方程为
【点评】:第一问运用椭圆的几何性质求标准方程,比较简单;第二问把椭圆和圆结合起来,查考了椭圆的对称性,圆的切线与半径垂直等性质,计算出圆心坐标,计算要仔细,难度与去年相比比较平稳。





















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