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2014年高考真题——理科数学(北京卷)解析版 Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 北京

上传时间:2014/6/18

下载次数:1952次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.35M

所属点数: 0

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课标理数【2014·北京理卷】
一、选择题
1. [2014•北京理卷] 
1.已知集合,则(    )
             
【答案】C
【解析】∵,∴.
2.[2014•北京理卷] 
下列函数中,在区间上为增函数的是(    )
             
【答案】A
【解析】由初等函数的性质得选项B在上递减,选项C、D在为减函数,所以排除B、C、D.
3.[2014•北京理卷] 
曲线(为参数)的对称中心(   )
在直线上       在直线上 
在直线上     在直线上
【答案】B
【解析】曲线方程消参化为,其对称中心为,验证知其满足.
4.[2014•北京理卷] 
当时,执行如图所示的程序框图,输出的值为(    )
             


【答案】C
【解析】.
5.[2014•北京理卷] 
设是公比为的等比数列,则是为递增数列的(   )
充分且不必要条件       必要且不充分条件 
充分必要条件          既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时,数列递减;时,数列递增,.
理数6.E5[2014•北京理卷] 
若满足且的最小值为-4,则的值为(    )
             
【答案】D
【解析】可行域如图所示,当时,知无最小值,当时,目标函数线过可行域内点时有最小值,联立,解之得,,即.

7.[2014•北京理卷] 
在空间直角坐标系中,已知,,,,若
 ,,分别表示三棱锥在,,坐标平面上的正投影图形的
  面积,则( )
(A)                           (B)且 
(C)且                       (D)且 
【答案】D
【解析】设顶点在三个坐标面、、的正投影分为、、,则
,,∴,
,.
8.[2014•北京理卷] 
有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不
  低于同学,且至少有一科成绩比高,则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学,
  他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样
  的.问满足条件的最多有多少学生( )
 (A)             (B)             (C)             (D)
【答案】B
【解析】假设AB两个同学的数学成绩一样,由题意知他们语文成绩不一样,这样他们的语文成绩总有人比另一个人高,语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”,与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此,没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种,因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀,不合格)、(合格,合格)、(不合格,优秀)时满足条件.
二、填空题
9.[2014•北京理卷] 
复数________.
【答案】
【解析】.
10.[2014•北京理卷] 
已知向量、满足,,且,则________.
【答案】
【解析】∵,∴,∴.
11.[2014•北京理卷]
设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为________;
   渐近线方程为________.
【答案】 ;
【解析】设双曲线的方程为,将代入,∴双曲线方程为.令得渐近线方程为.
12.[2014•北京理卷]
若等差数列满足,,则当________时的前
  项和最大.
【答案】8
【解析】∵,,∴,∴时数列前和最大.
13.[2014•北京理卷] 
把5件不同产品摆成一排,若产品与产品不相邻,则不同的摆法有_______种.
【答案】36
【解析】.
14.[2014•北京理卷]
设函数,,若在区间上具有单调性,且
    ,则的最小正周期为________.
【答案】
【解析】结合图象得,即.

15.[2014•北京理卷]
如图,在中,,点在边上,且
   (1)求
   (2)求的长

解:(I)在中,因为,所以.
所以

=.
(Ⅱ)在中,由正弦定理得
,
在中,由余弦定理得

,
所以.

16.[2012•北京理卷]
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立):

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.
(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过,一
     场不超过的概率.
记是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记为李明
     在这比赛中的命中次数,比较与的大小(只需写出结论).
解:(I)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.
(Ⅱ)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”。
则C=,A,B独立。
根据投篮统计数据,.
          
                
                ,
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为.
(Ⅲ).
17.[2014•北京理卷] 
如图,正方形的边长为2,分别为的中点,在五棱锥
   中,为棱的中点,平面与棱分别交于点.
 (1)求证:;
 (2)若底面,且,求直线与平面所成角的大小,并
      求线段的长.

解:(I)在正方形中,因为B是AM的中点,所以∥。
又因为平面PDE,
所以∥平面PDE,
因为平面ABF,且平面平面,
所以∥.
(Ⅱ)因为底面ABCDE,所以,.
如图建立空间直角坐标系,则,,,,,	
 .
设平面ABF的法向量为,则
即
令,则。所以,设直线BC与平面ABF所成角为a,则.
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.
设点H的坐标为
因为点H在棱PC上,所以可设
即。所以.
因为是平面ABF的法向量,所以,即。
解得,所以点H的坐标为
所以.
18.[2014•北京理卷] 
已知函数,
求证:;
若在上恒成立,求的最大值与的最小值.
解:(I)由得
          。
         因为在区间上,所以在区间上单调递减。
从而。
(Ⅱ)当时,“”等价于“”“”等价于“”。
      令,则,
      当时,对任意恒成立。
      当时,因为对任意,,所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。
       当时,存在唯一的使得。
       与在区间上的情况如下:
     
						→	0	→			↗		↘		因为在区间上是增函数,所以。进一步,“对
任意恒成立”当且仅当,即,
   综上所述,当且仅当时,对任意恒成立;当且仅当时,
对任意恒成立.
   所以,若对任意恒成立,则a最大值为,b的最小值为1.

19.  [2014•北京理卷] 
已知椭圆,
求椭圆的离心率.
设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
解:(I)由题意,椭圆C的标准方程为。
     所以,从而。因此。
故椭圆C的离心率。
(Ⅱ) 直线AB与圆相切。证明如下:
设点A,B的坐标分别为,,其中。
因为,所以,即,解得。
       当时,,代入椭圆C的方程,得,
       故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。
       此时直线AB与圆相切。
       当时,直线AB的方程为,
       即,
       圆心0到直线AB的距离
         又,故 
      此时直线AB与圆相切.
20. [2014•北京理卷]
对于数对序列,记,
,其中
表示和两个数中最大的数,
对于数对序列,求的值.
记为四个数中最小值,对于由两个数对组成的数对序列和,试分别对和的两种情况比较和的大小.
(3)在由5个数对组成的所有数对序列中,写出一个数对序列使最小,并写出的值.(只需写出结论).
解:(I)
        =8(Ⅱ)
       .
      当m=a时,==
      因为,且,所以≤
      当m=d时,
      因为≤,且所以≤。
      所以无论m=a还是m=d,≤都成立。
(Ⅲ)数对序列(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的值最小,
      =10, =26, =42, =50, =52















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