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2014年高考真题——文科数学(北京卷)解析版 Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 北京

上传时间:2014/6/18

下载次数:1380次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.29M

所属点数: 0

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课标文数【2014·北京文卷】
一、选择题
1.[2014•北京文卷] 
若集合,,则(    )
  A.             B.              C.               D.
【答案】C
【解析】.
2. [2014•北京文卷] 
下列函数中,定义域是且为增函数的是(    )
  A.              B.                C.             D.
【答案】B
【解析】由定义域为排除选项C,定义域单调递增排除选项A、D.
3. [2014•北京文卷] 
已知向量,,则(    )
  A.                B.                 C.               D.
【答案】A
【解析】2a-b=.
4. [2014•北京文卷] 
执行如图所示的程序框图,输出的值为(   )
  A.                     B.                    C.                    D.


【答案】C
【解析】.
5. [2014•北京文卷] 
设、是实数,则“”是“”的(   )
  A.充分而不必要条件                               B.必要而不必要条件
  C.充分必要条件                                   D.既不充分不必要条件
【答案】D
【解析】当时,由推不出,反之也不成立.
6. [2014•北京文卷] 
已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是(    )
  A.                B.               C.               D.
【答案】C
【解析】

在同一坐标系中作函数与的图象如图,可得零点所在区间为.
7. [2014•北京文卷] 
已知圆和两点,,若圆上存在点
,使得,则的最大值为(     )
  A.                     B.                     C.                   D.
【答案】B
【解析】由图可知当圆C上存在点P使,即圆C与以AB为直径的圆有公共点,∴,解之得.

8. [2014•北京文卷] 
加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率
与加工时间(单位:分钟)满足的函数关系(、、是常数),下图

记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(    )
  A.分钟            B.分钟           C.分钟           D.分钟
【答案】B
【解析】由题意得,解之得,
∴,即当时,有最大值.
二、填空题
9. [2014•北京文卷] 
若,则        .
【答案】2
【解析】∵,∴.
10. [2014•北京文卷] 
设双曲线的两个焦点为,,一个顶点式,则的方程为
           .
【答案】
【解析】由题意设双曲线方程,又∵,∴即双曲线方程为.
11. [2014•北京文卷]
某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为          .

【答案】 
【解析】三棱锥的直观图如图所示,并且,,,,.

12. [2014•北京文卷]
在中,,,,则        ;          .
【答案】2、
【解析】由余弦定理得,即;
,∴.
13. [2014•北京文卷] 
若、满足,则的最小值为          .
【答案】1
【解析】可行域如图,当目标函数线过可行域内点时,有最小值,联立
,解之得,.

14. [2014•北京文卷]
【答案】
【解析】交货期最短即少耽误工期,所以先让徒弟加工原料B,交货期为天.
顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这
项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都
完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
                 工序
        时间
原料	粗加工	精加工		原料				原料				则最短交货期为           工作日.
15. [2014•北京文卷]
已知是等差数列,满足,,数列满足,,且是等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【解析】⑴ 设等差数列的公差为,由题意得
所以.
设等比数列的公比为,由题意得··
,解得.
所以.
从而
⑵ 由⑴知.
数列的前项和为,数列的前项和为.
所以,数列的前项和为.
16. [2012•北京文卷]
函数的部分图象如图所示.
(1)写出的最小正周期及图中、的值;
(2)求在区间上的最大值和最小值.

【解析】⑴ 的最小正周期为
.

⑵ 因为,所以.
于是当,即时,取得最大值0;
当,即时,取得最小值.
17. [2014•北京文卷] 
如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,、分别为、的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面;
(3)求三棱锥的体积.

解:(Ⅰ)在三棱柱中,底面.
所以.
又因为.
所以平面.
所以平面平面.

(Ⅱ)取中点,连结,.
因为,分别是,的中点,
所以,且.
因为,且,
所以,且.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.

(Ⅲ)因为,,,
所以.
所以三棱锥的体积
.
18. [2014•北京文卷] 
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
解:(Ⅰ)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为.

(Ⅱ)课外阅读时间落在组的有17人,频率为,所以
.
课外阅读时间落在组的有25人,频率为,
所以.
(Ⅲ)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
19.  [2014•北京文卷] 
已知椭圆C:.
求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
解:(Ⅰ)由题意,椭圆的标准方程为.
所以,,从而.
因此,.
故椭圆的离心率.
(Ⅱ)设点,的坐标分别为,,其中.
因为,
所以,
即,解得.
又,所以




.
因为,且当时等号成立,所以.
故线段长度的最小值为.
20. [2014•北京文卷]
已知函数.
(1)求在区间上的最大值;
(2)若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围;
(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)
解:(Ⅰ)由得.
令,得或.
因为,, 
所以 在区间上的最大值为 .
(Ⅱ)设过点的直线与曲线相切于点 
则且切线斜率为 
所以切线方程为,
因此 .
整理得.
设 
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
.
与的情况如下:
		0		1					0		0				↗		↘		↗		 所以,是的极大值,是的极小值.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以至多有2个零点.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以至多有2个零点.
当且,即时,因为,所以 分别在区间,和上恰有个零点.由于在区间和上单调,所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是 .
(Ⅲ)过点 存在条直线与曲线相切;
过点 存在条直线与曲线相切;
过点 存在条直线与曲线相切.:
 















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