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2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2014/6/20

下载次数:2460次

资料类型:历年高考题

文档大小:970KB

所属点数: 0

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2014年普通高等学校统一考试(大纲)
理科
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设,则z的共轭复数为                                                   (     )
A.    B.   C.    D.
【答案】D.
2.设集合,,则                   (     )
A.   B.   C.   D.
【答案】B.
3.设则                                           (     )
A.   B.   C.   D.
【答案】C.
4.若向量满足:则                        (     )
A.2    B.   C.1    D.
【答案】B.
5.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(     )
A.60种    B.70种    C.75种    D.150种 
【答案】C.
6.已知椭圆C:的左、右焦点为、,离心率为,过的直线交C于A、B两点,若的周长为,则C的方程为                                     (     )
A.    B.   C.   D.
【答案】A.
7.曲线在点(1,1)处切线的斜率等于                                        (     )
A.    B.    C.2   D.1
【答案】C.
8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为   (    )
A.    B.   C.    D.
【答案】A.
9.已知双曲线C的离心率为2,焦点为、,点A在C上,若,则(     )
A.          B.         C.        D.
【答案】A.
10.等比数列中,,则数列的前8项和等于                     (     )
A.6          B.5          C.4         D.3
【答案】C.
11.已知二面角为,,,A为垂足,,,,则异面直线与所成角的余弦值为                                                (      )
A.          B.       C.        D.
【答案】B.
12.函数的图象与函数的图象关于直线对称,则的反函数是(    )
A.        B.        C.         D.
【答案】D.

第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 的展开式中的系数为         .(用数字作答)
【答案】70.
14.设满足约束条件,则的最大值为         .
【答案】5.
15.直线和是圆的两条切线,若与的交点为,则与的夹角的正切值等于         .
【答案】.
16.若函数在区间是减函数,则的取值范围是         .
【答案】.
三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,求B.
解:由题设和正弦定理得
又.
18. (本小题满分12分)
等差数列的前n项和为,已知,为整数,且.
(I)求的通项公式;
(II)设,求数列的前n项和.
解:(I)由,为整数知,等差数列的公差为整数.又,故于是,解得,因此,故数列的通项公式为.(II),于是.
19. (本小题满分12分)
如图,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,,.
(I)证明:;
(II)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.

解:解法一:(I)平面,平面,故平面平面.又,
平面.连结,∵侧面为菱形,故,由三垂线定理得;(II)平面平面,故平面平面.作为垂足,则平面.又直线∥平面,因而为直线与平面的距离,.∵为的角平分线,故.作为垂足,连结,由三垂线定理得,故为二面角的平面角.由得为的中点,∴二面角的大小为.

解法二:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,以长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由题设知与轴平行,轴在平面内.
(I)设,由题设有则由得,即(①).于是.
(II)设平面的法向量则即.
故,且.令,则,点到平面的距离为.又依题设,点到平面的距离为.代入①解得(舍去)或.于是.设平面的法向量,则,即,故且.令,则.又为平面的法向量,故,∴二面角的大小为.
20. (本小题满分12分)
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.
(I)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(II)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解:记表示事件:同一工作日乙、丙恰有人需使用设备,;表示事件:甲需使用设备;表示事件:丁需使用设备;表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.
(I),又
(II)的可能取值为0,1,2,3,4.
,

∴数学期望

21. (本小题满分12分)
已知抛物线C:的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.
(I)求C的方程;
(II)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.
解:(I)设,代入,得.由题设得,解得(舍去)或,∴C的方程为;(II)由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得.设则
.故的中点为.又的斜率为的方程为.将上式代入,并整理得.设则.故的中点为.
由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或.所求直线的方程为或.
22. (本小题满分12分)
函数.
(I)讨论的单调性;
(II)设,证明:.
解:(I)的定义域为.
(i)当时,若,则在上是增函数;若则在上是减函数;若则在上是增函数.
(ii)当时,成立当且仅当在上是增函数.
(iii)当时,若,则在是上是增函数;若,则在上是减函数;若,则在上是增函数.
(II)由(I)知,当时,在是增函数.当时,,即.又由(I)知,当时,在上是减函数;当时,,即.下面用数学归纳法证明.
(i)当时,由已知,故结论成立;
(ii)假设当时结论成立,即.当时,,即当时有,结论成立.根据(i)、(ii)知对任何结论都成立.




	

















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