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2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版2 Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 湖北

上传时间:2014/6/20

下载次数:1911次

资料类型:历年高考题

文档大小:2.20M

所属点数: 0

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绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
本试卷共页,。满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。在试题卷、草稿纸无效。
3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。在试题卷、草稿纸无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。                                 1.[2014·湖北卷] i为虚数单=(  )                  -1  .- [解析] ==-1.故选[2014·湖北卷] 若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=(  )  C.1  D.
2.C [解析] 展开式中含的项是T=(2x)2=22a5x-3,故含的项的系数是22a5=84,解得a=1.故选[2014·湖北卷] U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A,B是“A∩B=的(  )充分而不必要条件  必要而不充分条件充要条件  既不充分也不必要条件 [解析] 若存在集合C使得A,B,则可以推出A∩B=;若AB=,由维思图可知,一定存在C=A,满足A,B,故“存在集合C使得A,B是“A∩B=的充要条件.故选[2014·湖北卷] 根据如下样本数据:
x	3	4	5	6	7	8		y	4.0	2.5	-0.5	0.5	-2.0	-3.0得到的回归方程为=bx+a,则(  ),b>0  .,b<0  ,b>0  .,b<0 [解析] 作出散点图如下:
观察图象可知,回归直线=bx+a的斜率b<0,截距a>0.故a>0,b<0.故选[2014·湖北卷] 在如图1­1所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(  )
图1­1  
A.①和②  .和③  .和②  .和② [ 由三视图及空间直角坐标系可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图是一个钝角三角形,故俯视图是②. 故选[2014·湖北卷] 若函数f(x),g(x)满足(x)g(x)dx=,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:(x)=x,g(x)=x;②f(x)=x+1,(x)=-1;③f(x)=x,g(x)=x其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是(  )3
6.C [解析] 由题意,要满足f(x),g(x)是区间[-1,1]上的正交函数,即需满足(x)g(x)dx=0.f(x)g(x)dx=xcosxdx=sinxdx==0,故第①组是区间[-1,1]上的正交函数;f(x)g(x)dx=(x+1)(x-1)==-,故第②组不是区间[-1,1]上的正交函数;f(x)g(x)dx===0,故第③组是区间[-1,1]上的正交函数.综上,是区间[-1,1]上的正交函数的组数是2. 故选[2014·湖北卷] 由不等式组确定的平面区域记为Ω,不等式组确定的平面区域记为Ω,在Ω中随机取一点,则该点恰好在Ω内的概(  ).  B.  C.  D.
7.D [解析] 作出Ω,Ω表示的平面区域如图所示,
SΩ1=S==2,S=×=,则S四边形AOEC=S-S=2-=故由几何概型得,所求的概率P===故选[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为(  )  B.  C.  D.
8.B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r,底面积为S,则L=2,由题意得Sh,代入S=2化简得;类比推理,若V=,则.故选、[2014·湖北卷] 已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  )  B.  C.3  D.2
9.A [解析] 设|PF=r,|PF=r,r,椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a,椭圆、双曲线的离心率分别为e,e则由椭圆、双曲线的定义,得r+r=2a,r-r=2a,平方得4a=r++,4a=-+r又由余弦定理得=+-r,消去ra+3a=4c,即+=4.所以由柯西不等式得==所以+.故选[2014·湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a+|x-2a-3a).若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为(  )  B.  
C.  D.
10.B [解析] 因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a时,f(x)==-x;当a时,(x)==-a;当x≥2a时,(x)==x-3a综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数(x)在R上的大致图象如下,
观察图象可知,要使,f(x-1)≤f(x),则需满足2a-(-4a)≤1,解得-.故选[2014·湖北卷] 设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=________. [解析] 因为a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+λ),又(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+)=0,解得=±3.[2014·湖北卷] 直线l:y=+a和l:y=x+b将单位圆C:x+y=1分成长度相等的四段弧,则a+b=________ [解析] 依题意得,圆心O到两直线l:y=x+a,:y=+b的距离相等,且每段弧长等于圆周的,即==1×,得 |a|=|b|=1.故a+b=2.
图1­2[2014·湖北卷] 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图1­2所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=________. [解析] 取a=815=-158=693≠815=;由a=693=963-369=594≠693a3=594;由a=594=954-459=495≠594=495;由a=495=954-459=495=a=495.、[2014·湖北卷] 设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得(a,b)=c=,即M(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=________(x>0)时,M(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x________(x>0)时,M(a,b)为a,b的调和平均数(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)(1) (2)x(或填(1)k;(2)k,其中k,k为正常数)[解析] 设A(a,f(a)),B(b,-f(b)),C(c,0),则此三点共线:(1)依题意,c=,则=,即=因为a>0,b>0,所以化简得=,故可以选择(x)=(x>0);(2)依题意,c=,则=,因为,,所以化简得=,故可以选择(x)=(x>0).[2014·湖北卷] (选修4­1:几何证明选讲)如图1­3,P为⊙O外一点P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=________.
图1­3 [解析] 由切线长定理得QA=QC·QD=1×(1+3)=4,解得QA=2.故PB=PA=2QA=4.[2014·湖北卷] (选修4­4:坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=2,则C与C交点的直角坐标为________. [解析] 由消去t得y=(x≥0),即曲线C的普通方程是y=(x≥0);由ρ=2,得ρ=4,得x+y=4,即曲线C的直角坐标方程是x2+y=4.联立解得故曲线C与C的交点坐标为、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:)的变化近似满足函数关系:(t)=10-t-t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11,则在哪段时间实验室需要降温?解:(1)因为f(t)=10-=10-2,又0≤t<24,所以t+,-1≤≤1.
当t=2时,=1;当t=14时,=-1.于是f(t)在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高12 ℃,最低温度为,最大温差为4 (2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2,故有10-2>11,即<-又0≤t<24,因此t+,即100,解得n>40或n<-10n,使得S+800成立,n的最小值为41.综上,当a=2时,不存在满足题意的正整数n;当a=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.、、、[2014·湖北卷] 如图1­4,在棱长为2的正方体ABCD­A中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A,A的中点,点P,Q分别在棱DD,BB上移动,且DP==λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC平面EFPQ.(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
图1­4
.解:方法一(几何方法):(1)证明:如图①,连接AD,由是正方体,知BC当λ=1时,P是DD的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD,所以BC而FP平面EFPQ,且BC平面EFPQ,故直线BC平面EFPQ.
图①         图②   
(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是ABAD的中点,所以EF∥BD,且EF=又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=在和中,因为BQ=DP=λ,=DF=1,于是EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH=4,OH=1+λ-=2+,=1+(2-λ)-=(2-λ)+,由OG+OH=GH,得(2-λ)++λ+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.方法二(向量方法):以D为原点,射线DA,DC,DD分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),(0,0,λ).
图③    
=(-2,0,2),FP=(-1,0,λ),FE=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,FP=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC而FP平面EFPQ,且BC平面EFPQ,故直线BC平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X	40120		发电机最多可运行台数	1	2	3若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解:(1)依题意,p=P(40120)==0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为=(1-p)4+(1-p)3p3=0.9+4×0.9=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×=5000.安2台发电机的情形.依题意,当40120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15 000,因此(Y=15 000)=(X>120)=p0.1.由此得Y的分布列如下:Y	3400	9200	15 000		P	0.2	0.7	0.1		所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15 000×=8620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y=(2)在点M的轨迹C中,记C:y=4x,C:y=(x<0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky-4y+4(2k+1)=0.①当k=0时,y1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16(2k+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x=-(i)若由②③解得k<-1或k>即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C没有公共点,与C有一个公共点.故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)若或由②③解得k∈或-即当k∈时,直线l与C只有一个公共点.当k∈时,直线l与C有两个公共点,与C没有公共点.故当k∈时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(iii)若由②③解得-10,即0时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).(2)因为,所以,,即,于是根据函数y=,yex,y=在定义域上单调递增,可得,故这6个数的最大数在与3之中,最小数在3与之中.由及(1)的结论,得f()2.7×>2.7×(2-0.88)=,即,亦即>ln e3,所以.
又由①得,3--,即3,所以综上可得,3,即这6个数从小到大的顺序为3,,,,,3














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