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2014年高考真题——理科数学(福建卷)精校版 Word版含答案

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 福建

上传时间:2014/6/20

下载次数:1691次

资料类型:历年高考题

文档大小:885KB

所属点数: 0

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2014年福建高考数学试题(理)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数的共轭复数等于(   )
             
2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(   )
圆柱    圆锥     四面体     三棱柱
3.等差数列的前项和,若,则(    )
               
4.若函数的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是(    )


5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的得值等于(    )
               

6.直线与圆相交于两点,则是“的面积为”的(     )
充分而不必要条件        必要而不充分条件 
充分必要条件            既不充分又不必要条件

已知函数则下列结论正确的是(   )
是偶函数   B. 是增函数   C.是周期函数  D.的值域为
在下列向量组中,可以把向量表示出来的是(    )
     B .   
C.     D.     
设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是(    )
     B.    C.    D.

用代表红球,代表蓝球,代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球,面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是
B.
C. D.
填空题
若变量满足约束条件则的最小值为________
12、在中,,则等于_________
13、要制作一个容器为4,高为的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元)
如图,在边长为(为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他落到阴影部分的概率为______.

若集合且下列四个关系:
①;②;③;④有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组的个数是_________.
解答题:本大题共6小题,共80分.
(本小题满分13分)
已知函数.
若,且,求的值;
求函数的最小正周期及单调递增区间.
17.(本小题满分12分)
在平行四边形中,,.将沿折起,使得平面平面,如图.
求证:;
若为中点,求直线与平面所成角的正弦值.


18.(本小题满分13分)
   为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从
   一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾
   客所获的奖励额.
  (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求
       ①顾客所获的奖励额为60元的概率
       ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
  (2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和
       50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励
       总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球
       的面值给出一个合适的设计,并说明理由.


19.(本小题满分13分)
   已知双曲线的两条渐近线分别为.
   (1)求双曲线的离心率;
   (2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,
        四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公
        共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由。

20. (本小题满分14分)
已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处
的切线斜率为-1.
(I)求的值及函数的极值;
(II)证明:当时,;
(III)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.
本题设有(1),(2),(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.
如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题
号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.
   (1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换
        已知矩阵的逆矩阵.
       (I)求矩阵;
       (II)求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
   (2)(本小题满分7分)选修4—4:极坐标与参数方程
        已知直线的参数方程为,(为参数),圆的参数方程为
       ,(为常数).
  (I)求直线和圆的普通方程;
  (II)若直线与圆有公共点,求实数的取值范围.
   (3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选将
       已知定义在R上的函数的最小值为.
      (I)求的值;
      (II)若为正实数,且,求证:.



































2014·福建卷(理科数学)               解:方法一:(1)因为0<α<,α=,所以α=所以f(α)=-=(2)因为f(x)=+-=+-=+=,所以T==由2k-++,k∈Z,得k-+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.方法二:f(x)=+-=+-=+=.
(1)因为0<α<,α=,所以α=,从而f(α)===(2)T==由2k-++,k∈Z,得k-+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,.
图1­5解:(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB平面ABD,AB⊥BD,平面BCD.又CD平面BCD,∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.
由(1)知AB⊥平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M则=(1,1,0),=,=(0,1,-1).设平面MBC的法向量n=(x,y,z),则即取z=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则===解:(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)==即顾客所获的奖励额为60元的概率为,(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.(X=60)=,(X=20)==X的分布列为
X	20	60		P	0.5	0.5		所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×+60×=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X,则X的分布列为
X				X1的期望为E(X)=20×+60×+100×=,的方差为D(X)=(20-60)+(60-60)+(100-60)=.
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X,则X的分布列为
X2	40	60	80		P					X2的期望为E(X)=40×+60×+80=,X2的方差为D(X)=(40-60)+(60-60)+(80-60)=由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.解:方法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=,从而双曲线E的离心率==(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.又因为△OAB的面积为8,
所以=8,因此=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或-2,则C记A(x,y),B(x,y).由得y=,同理得y=由S=-y,得·=8,m2=4=4(k-4).由得(4-k)x2-2kmx-m-16=0.因为4-k,所以Δ=4k+4(4-k)(m2+16)=-16(4k-m-16).又因为m=4(k-4),所以Δ0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.方法二:(1)同方法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x,y),B(x,y).依题意得-.
由得y=, 同理得y=设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由S=-y=8,得=8.所以t=4|1-4m=4(1-4m).由得(4m-1)y+8mty+4(t-)=0因为-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m-16(4m-1)(t-a)=0,即4m+t-a=0, 即4m+4(1-4m)-=,即(1-4m)(a2-4)=0,所以a=4,因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.方法三:(1)同方法一.(2)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为=+m,A(x,y),B(x,y).依题意得k>2或k<-2.由得(4-k)x2-2kmx-m=0,因为4-k,Δ>0,所以x=,又因为△OAB的面积为8,所以=8,又易知=,所以=8,化简得x=4.所以=4,即m=4(k-4).由(1)得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k)x2-2kmx-m-=0因为4-k,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k+4(4-k)(m2+4a)=0,即(k-4)(a-4)=0,所以a=4,所以双曲线E的方程为-=1.当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:-=1有且只有一个公共点.综上所述,存l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解:方法一:(1)由f(x)=-ax,得f ′(x)=-a.又f ′(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=-2x,f ′(x)=-2.令f ′(x)=0,得x=当x<时,f ′(x)<0,f(x)单调递减;当x> 2时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=时,f(x)取得极小值,且极小值为f()=-2=2-,(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=-x,则g′(x)=-2x.由(1)得,g′(x)=f(x)≥f()=2-,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x(3)证明:①若c≥1,则又由(2)知,当x>0时,x故当x>0时,x取x=0,当x∈(x,+∞)时,恒有x若0ln(kx2),只要x>2+成立.令h(x)=x-2-,则h′(x)=1-=所以当x>2时,h′(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x=16k>16,所以h(x)在(x,+∞)内单调递增.又h(x)=16k-2(16k)-=8(k-)+(k-)+5k,易知k>,k>,5k>0,所以h(x)>0.
即存在x=,当x∈(x,+∞)时,恒有x综上,对任意给定的正数c,总存在x,当x∈(x,+∞)时,恒有x方法二:(1)同方法一.(2)同方法一.(3)对任意给定的正数c,取x=,由(2)知,当x>0时,,所以=·e>·,当x>x时,>=,因此,对任意给定的正数c,总存在x,当x∈(x,+∞)时,恒有x方法三:(1)同方法一.(2)同方法一.(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有30时,x,从而h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(x)x时,有x3
        
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